Identificación de un triángulo del que conocemos la longitud de sus tres medianas.
Visualizando la solución, observamos que las medianas de un triángulo cumplen siempre una propiedad: la distancia entre el punto de corte de las tres y cada uno de los vértices del triángulo será de dos tercios de la longitud de la mediana correspondiente.
Si utilizamos esa distancia de dos de las medianas para componer un paralelogramo, una de sus diagonales será uno de los lados del triángulo, y la mitad de la otra tendrá como longitud un tercio de la tercera mediana. Así pues, esa otra diagonal medirá dos tercios de la longitud de dicha mediana, y además será colineal con ella.
Conocer las dos diferentes dimensiones de sus lados y la de una de sus diagonales es suficiente para trazar un paralelogramo, y por lo tanto también para resolver este ejercicio.
Si utilizamos esa distancia de dos de las medianas para componer un paralelogramo, una de sus diagonales será uno de los lados del triángulo, y la mitad de la otra tendrá como longitud un tercio de la tercera mediana. Así pues, esa otra diagonal medirá dos tercios de la longitud de dicha mediana, y además será colineal con ella.
Conocer las dos diferentes dimensiones de sus lados y la de una de sus diagonales es suficiente para trazar un paralelogramo, y por lo tanto también para resolver este ejercicio.
Pasos a seguir
- El primer paso es, según lo visto, obtener los dos tercios de cada mediana. Para ello aplicaremos el Teorema de Tales.
- Seguidamente, procederemos a componer nuestro paralelogramo. Para ello, situaremos como base uno de los lados.
- A continuación, tomaremos los extremos de la base situada como centros de dos arcos. Uno de ellos tendrá como radio la longitud del segundo lado, y el otro, la longitud de la diagonal del paralelogramo.
- En el punto de corte de los dos arcos anteriores se encontrará otro vértice del paralelogramo, que nos permitirá trazar el segundo lado y, por medio de paralelas, también los dos restantes.
- La segunda diagonal resultante de nuestro paralelogramo será uno de los lados del triángulo que buscamos, de modo que ya podemos trazarlo.
- Sabemos que el tercer vértice del triángulo se encontrará en la prolongación de la primera diagonal impuesta para nuestro paralelogramo. Así pues, trazaremos una recta siguiendo esa dirección.
- Por otro lado, también sabemos que la distancia entre ese tercer vértice y el punto de corte de las tres medianas (ya localizado), será de dos tercios de la mediana cuyos dos tercios se emplearon como primera diagonal del paralelogramo. Así pues, tomaremos ese punto como centro de un arco, cuyo radio será la longitud de la citada diagonal, es decir, dos tercios de la mediana correspondiente.
- En el punto de corte entre la recta y el arco recién trazados se encontrará el tercer vértice del triángulo, que nos permitirá trazar los dos lados que faltan.
Explicación gráfica de los pasos en un vídeo de Youtube
